Question

如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求证：EF∥平面PDC；
（3）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer

（1）先证明BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD 和CD，可得BC⊥平面PCD，从而证得BC⊥PC．
（2）取PC的中点G，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，证得EF∥平面PDC．
（3）取BD中点O，可证EO⊥底面ABCD，利用 求出三棱锥B-AEF的体积．
【解析】
（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD是边长为2的正方形，∴BC⊥CD．
这样，BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD 和CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC．
（2）取PC的中点G，连接EG，GD，则EG，∴．∴四边形EFGD是平行四边形．
∴EF∥GD，又EF⊄平面PDC，DG⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC．
（3）取BD中点O，连接EO，则EO∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，EO=1，
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