Question

已知圆O：x²+y²=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（x），求f（k）的表达式；
（2）若，求直线l的方程．

Answer

（1）利用圆心到直线的距离为半径1求得k和b的关系式，同时把直线与椭圆方程联立消去y根据判别式大于或等于0求得k的范围，综合可得f（k）的表达式；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）可表示出x1+x2和x1x2，进而可求得，最后根据求得k，进而求得b，则直线l的方程可得．
【解析】
（1）y=kx+b（b＞0）与x2+y2=1相切，则，
即b2=k2+1，∵b＞0，∴
消去y，
得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0．
∵l与椭圆交于不同的两点，
∴△=16k2b2-4（2k2+1）（2b2-2）=8k2＞0，k≠0．
∴
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=，
∴
所以b2=2，∵b＞0，∴，
∴或