Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）设直线L与曲线C相交于A，B两点，求证：．

Answer

（ I）由直线（参数t∈R），知x=y+4，由此得到直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，得到ρ2sin2θ=4ρcosθ．由此得到曲线C的普通方程．
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2-12x+16=0，再由韦达定理进行求解．
【解析】
（ I）∵直线（参数t∈R），
∴x=y+4，∴直线l：y=x-4，
∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
∴曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ=4ρcosθ．
曲线C：y2=4x，（5分）
（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，（7分）
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16
∴=x1x2+y1y2=2x1x2-4（x1+x2）+16=0． （10分）