Question

证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：．

Answer

（1）用比较法证明不等式，（x3+y3 ）-（x2y+xy2）=（x+y）（x-y）2，分析符号可得结论．
（2）由题意得，1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），结论得证．
证明：（1）∵（x3+y3 ）-（x2y+xy2）=x2 （x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2 ）
=（x+y）（x-y）2．
∵x，y都是正实数，∴（x-y）2≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）2≥0，
∴x3+y3≥x2y+xy2．
（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c 时，等号成立．