Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．

Answer

（1）先根据函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
【解析】
（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3⇒2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x）max=f（0）=2，f（x）min=f（t）=t3-3t2+2
当2＜t≤3时，f（x）max=f（0）=f（3）=2，f（x）min+2=f（2）=-2
当t＞3时，f（x）max=f（t）=t3-3t2+2，f（x）min=f（2）=-2