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如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=manfen5.com 满分网
(I)求证:AO⊥平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离.

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(I)欲证AO⊥平面BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直,而CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,满足定理; (II)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,异面直线AB与CD的向量坐标,求出两向量的夹角即可; (III)求出平面ACD的法向量,点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可. 【解析】 (I)证明:连接OC ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC中,由已知可得 而AC=2, ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90o,即AO⊥OC. ∵BD∩OC=O, ∴AO⊥平面BCD (II)【解析】 以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0), ∴, ∴异面直线AB与CD所成角的大小为 (III)【解析】 设平面ACD的法向量为, 则 ∴ 令y=1,得是平面ACD的一个法向量. 又, ∴点E到平面ACD的距离
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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