Question

过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），则椭圆的方程为    ．

Answer

由题设条件知，直线l与椭圆切于点P，根据椭圆定义，化为在l上求一点P，使|PF1|+|PF2|为最小，用对称点法求之．
【解析】
设直线l上的占P（t，t+9），
取F1（-3，0）关于l的对称点Q（-9，6），
根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|，
当且仅当Q，P，F2共线，即，
即时，
上述不等式取等号，∴t=-5．
∴P（-5，4），
据c=3，a=3，知a2=45，b2=36，
∴椭圆的方程为．
故答案为．