Question

已知二次函数f（x）=（x-1）²，直线g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
（n∈N^*）．（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer

（1）先根据f（x）和g（x）的解析式化简，（an+1-an）g（an）+f（an）=0），得（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0再用构造法求出数列{an}的通项公式．
（2）根据f（x）和g（x）的解析式及数列{an}的通项公式化简bn，再用二次函数求极值的方法求出数列{bn}的最值及相应的n．
【解析】
（1）∵（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0∴（an-1）（4an+1-3an-1）=0∵a1=2，
∴an≠1，4an+1-3an-1=0∴数列an-1是首项为1，公比为的等比数列
∴
（2）bn=3（an-1）2-4（an+1-1）=
令则∵n∈N*，
∴u的值分别为，经比较距最近，
∴当n=3时，bn有最小值是，当n=1时，bn有最大值是0．