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已知a≠0且a∈R,函数的最小值为g(a). (1)求函数g(a)的表达式; (...

已知a≠0且a∈R,函数manfen5.com 满分网的最小值为g(a).
(1)求函数g(a)的表达式;
(2)求函数g(a)的值域;
(3)找出所有使manfen5.com 满分网成立的实数a.
(1)由函数的解析式知,求此函数的最值需要先用换元法转化,将此三角函数转化为一个一元二次函数在某一个区间上的最值问题.然后再用配方法求出函数的最值,由于本题中函数的对称轴不确定,属于二次函数最值中轴动区间定的问题,故本题需要对参数a的取值范围讨论,分类求函数的最小值. (2)研究函数在每一段上的单调性,求出每一段上的值域,将其并起来既得函数的值域,研究函数单调性一般选择用导数法,此法较定义法简捷. (3)依据g(a)的解析式在各段上探究成立的a的值,方法是求解方程探究 【解析】 (1)令t=sinx+cosx,则t∈,令m(t)=f(x). 则g(a)=m(t)min.则= 由题意知. 1°当,即0<a<1时,m(t)在区间上单调递增, ∴. 2°当<0时,即a≥1时,m(t)min=. 3°当 4°当,即-1<a<0时,m(t)min=. ∴ (2)当1>a>0时,N'(a)=,令N'(a)=0得a=1. 当a∈(0,1)时,N'(a)<0,y(a)单调递减, 则,∴g(a)≥2 当a<0时,由N'(a)=0有a=-1,且在(-∞,-1)上N'(a)>0在(-1,0)上N'(a)<0, ∴在a∈(-∞,0)上有g(a)≤g(-1)=-2, ∴g(a)值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) (3)若a>0,∵=1,而当a∈(0,1)时g(a)>2,而a∈(1,+∞)时g(a)=2, ∴a>0时有且仅有a=1时有. 若a<0,,∴>-1或-1<a<0,<-1或a=, ∴总有g(a)=.∴a<0时有g(a)=. 综上有:a∈(-∞,0)∪{1}时有g(a)=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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