Question

已知函数
（Ⅰ）当x＜1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer

（I）先求出导数等于零的值，然后根据导数符号研究函数的单调性，判定极值点，代入原函数，求出极值即可；
（II）根据（I）可知f（x）在[-1，1）上的最大值为2．当1≤x≤2时，f（x）=alnx．当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；当a＞0时，f（x）在[1，e]上单调递增．当a≤2时，f（x）在区间[-1，e]上的最大值为2；当a＞2时，f（x）在区间[-1，e]上的最大值为a．
（II）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
【解析】
（Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，f'（x）=-3x2+2x
令f′（x）=0得x=0或x=
当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0
当x=时，f（x）取得极大值f（）=
（Ⅱ）①由（1）知当-1≤x≤1时，f（x）在x=处取得极大值．
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值为2．（4分）
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0；当a＞0时，
f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最大值为a．
所以当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．（8分）
（Ⅲ）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1．
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以=0，
即：-t2+f（t）•（t3+t2）=0（1）…（10分）
是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2，代入方程（1）得：t4-t2+1=0，此方程无实数解．
若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到：=（t+1）lnt，（12分）
设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h'（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，
所以当a＞0时，方程=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，
使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．（14分）