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如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,A...

manfen5.com 满分网如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:AE∥平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°?
(Ⅰ)过点E作EG⊥CF并CF于G,连接DG,证明AE平行平面DCF内的直线DG,即可证明AE∥平面DCF; (Ⅱ)过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH,说明∠AHB为二面角A-EF-C的平面角,通过二面角A-EF-C的大小为60°,求出AB即可. (Ⅰ)证明:过点E作EG⊥CF并CF于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形.又ABCD为矩形, 所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形,故AE∥DG. 因为AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,所以AE∥平面DCF. (Ⅱ)【解析】 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH. 由平面ABCD⊥平面BEFG,AB⊥BC,得 AB⊥平面BEFC, 从而AH⊥EF, 所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角. 在Rt△EFG中,因为EG=AD=. 又因为CE⊥EF,所以CF=4, 从而BE=CG=3. 于是BH=BE•sin∠BEH=. 因为AB=BH•tan∠AHB, 所以当AB=时,二面角A-EF-G的大小为60°. 【考点】空间点、线、面位置关系,空间向量与立体几何. 【点评】由于理科有空间向量的知识,在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用,这为考生选择解题方案提供了方便,但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷,那就是空间向量的运算问题,空间向量有三个分坐标,在进行运算时极易出现错误,而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显,所以在复习立体几何时,不要纯粹以空间向量为解题的工具,要注意综合几何法的应用.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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