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设椭圆的离心率,右焦点到直线的距离,O为坐标原点. (I)求椭圆C的方程; (I...

设椭圆manfen5.com 满分网的离心率manfen5.com 满分网,右焦点到直线manfen5.com 满分网的距离manfen5.com 满分网,O为坐标原点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
(I)利用离心率求得a和c的关系式,同时利用点到直线的距离求得a,b和c的关系最后联立才求得a和b,则椭圆的方程可得. (II)设出A,B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0, 求得m和k的关系式,进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值,进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小,最后根据求得AB的坐标值. 【解析】 (I)由,∴. 由右焦点到直线的距离为, 得:, 解得. 所以椭圆C的方程为. (II)设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB的方程为y=kx+m, 与椭圆联立消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴, 整理得7m2=12(k2+1) 所以O到直线AB的距离.为定值 ∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB, 当且仅当OA=OB时取“=”号. 由, ∴, 即弦AB的长度的最小值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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