Question

△ABC中，AB=AC=2，BC边上有2010个不同点P_n，记a_n=2+•（n=1，2，A₂₀₁₀），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₀等于（ ）
A．2010
B．8040
C．4020
D．1005

Answer

首先过△ABC顶点A作BC边上的高AD，由已知得BD=CD，再由两个直角三角形运用勾股定理推出即a1=2+=+PB1•P1C=AB2=4，同理同理：a2=4，a3=4，…，an=4，从而求解．
【解析】
过△ABC顶点A作BC边上的高AD，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ADP1中，由勾股定理得：
AP12=AD2+P1D2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2=AB2-BD2，
所以AP12+
=
=AD2+P1D2+P1B•P1C
=（AB2-BD2）+P1D2+P1B•P1C
=AB2-BD2+P1D2+（BD-P1D）（CD-P1D）
=AB2-BD2+P1D2+（BD-P1D）（BD+P1D）
=AB2-BD2+P1D2+BD2-P1D2
=AB2=4．
即a1=4，
同理：a2=4，a3=4，…，an=4，
所以a1+a2+…+a2010=4×2010=8040．
故选B．