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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=60°,AB=AC=2,...

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=60°,AB=AC=2manfen5.com 满分网,以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B1、C1
(1)求证B1C1∥平面ABC
(2)若二面角C-PB-A的大小为arctan2manfen5.com 满分网,试求球O的表面积.

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(1)连接AC1、AB1,由题意可得:PA⊥AB、PA⊥AC,BP=CP,∠APB1=∠APC1,再根据球的性质可得:cos∠APB1==cos∠APC1=,可得,所以B1C1∥BC,进而结合线面平行的判定定理可得线面平行. (2)过点C作CD⊥AB于点D,则CD⊥平面ABP,过D作DE⊥PB于E,连CE,根据二面角的定义可得:∠CED是二面角C-PB-A的平面角,可得tan∠CED=,即DE=,即可得到∠PBA=30°进而结合题意得到球的直径求出球的表面积. 【解析】 (1)连接AC1、AB1 ∵PA⊥底面ABC ∴PA⊥AB、PA⊥AC 又∵AB=AC,易得△APC≌△APB ∴BP=CP,∠APB1=∠APC1 ∵AP为球O的直径,∴AC1⊥PC1,AB1⊥PB1 ∴cos∠APB1==cos∠APC1=, ∴PB1=PC1…(3分) ∴, ∴B1C1∥BC 又∵B1C1⊄平面ABC,BC⊂平面ABC ∴B1C1∥平面ABC   …(6分) (2)过点C作CD⊥AB于点D,则CD⊥平面ABP,过D作DE⊥PB于E,连CE,由三垂线定理知:CE⊥PB, ∴∠CED是二面角C-PB-A的平面角,即∠CED=arctan2, ∴tan∠CED=, ∴DE=, sin∠PBA=, ∴∠PBA=30°…(9分) ∴AP=ABtan∠PBA=2×=2, ∴球O的半径R=1…(11分) ∴球O的表面积为S=4πR2=4π.…(12分)
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考点分析:
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项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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