Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2，以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B₁、C₁
（1）求证B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小为arctan2，试求球O的表面积．

Answer

（1）连接AC1、AB1，由题意可得：PA⊥AB、PA⊥AC，BP=CP，∠APB1=∠APC1，再根据球的性质可得：cos∠APB1==cos∠APC1=，可得，所以B1C1∥BC，进而结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）过点C作CD⊥AB于点D，则CD⊥平面ABP，过D作DE⊥PB于E，连CE，根据二面角的定义可得：∠CED是二面角C-PB-A的平面角，可得tan∠CED=，即DE=，即可得到∠PBA=30°进而结合题意得到球的直径求出球的表面积．
【解析】
（1）连接AC1、AB1
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB

∴BP=CP，∠APB1=∠APC1
∵AP为球O的直径，∴AC1⊥PC1，AB1⊥PB1
∴cos∠APB1==cos∠APC1=，
∴PB1=PC1…（3分）
∴，
∴B1C1∥BC
又∵B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC
∴B1C1∥平面ABC   …（6分）
（2）过点C作CD⊥AB于点D，则CD⊥平面ABP，过D作DE⊥PB于E，连CE，由三垂线定理知：CE⊥PB，
∴∠CED是二面角C-PB-A的平面角，即∠CED=arctan2，
∴tan∠CED=，
∴DE=，
sin∠PBA=，
∴∠PBA=30°…（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=2×=2，
∴球O的半径R=1…（11分）
∴球O的表面积为S=4πR2=4π．…（12分）