Question

已知C为圆是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）一直线l，原点到l的距离为．（i）求证直线l与曲线E必有两个交点．
（ii）若直线l与曲线E的两个交点分别为G、H，求△OGH的面积的最大值．

Answer

（1）由题设知，MQ⊥AP，QM是P的中垂线，又，
根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（-，0），A（，0）为焦点，长轴长为2的椭圆，由此可知点Q的轨迹方程．
（2）（i）当直线l垂直x轴时，由题意知：，取代入曲线E的方程得：，即G（，），H（，-）有两个不同的交点，当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：y=kx+b，由此入手可知直线l必与椭圆E交于两点
（ii）当直线l垂直x轴时，，当直线l不垂直x轴时，设G（x1，y1），H（x2，y2），再由根与系数的关系结合题设条件可求出△OGH的面积的最小值．
【解析】
（Ⅰ）圆，半径
∵，
∴MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是P的中垂线，连接AQ，则|AQ|=|QP|
∴
又，
根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（-，0），A（，0）为焦点，长轴长为2的椭圆，
由，因此点Q的轨迹方程为．

（Ⅱ）（1）证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：，
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，-）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：y=kx+b
由题意知：
由
∵△=36k2b2-4（1+3k2）（3b2-3）=12（3k2-b2+1）=27k2+3＞0
∴直线l与椭圆E交于两点，综上，直线l必与椭圆E交于两点

（2）由（1）知当直线l垂直x轴时，
当直线l不垂直x轴时，设G（x1，y1），H（x2，y2），
由（1）知
=
=
=
=
=

当且仅当，则取得“=”，
∴
当k=0时，．
综上，△OGH的面积的最小值为．