Question

在数列{a_n}中，，若函数f（x）=x³+1在点（1，f（1））处切线过点（a_n+1，a_n）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式S_n．

Answer

（1）利用导数的几何意义求出切线方程，从而得到an+1与an的关系，并利用待定系数法整体构造等比数列；
（2）利用（1）求出数列的通项公式，继而得到数列{an}的通项公式，观察通项特征，选择求和方法．
【解析】
（1）因为f′（x）=3x2，所以切线的斜率为k=3，切点（1，2），
切线方程为y-2=3（x-1）即3x-y-1=0…2分
又因为过点（an+1，an），所以3an+1-an-1=0，
即3an+1=an+1①…4分
所以即即，
即数列为一等比数列，公比为…6分
（2）由（1）得为一公比为，的等比数列．
则，∴，…10分
…12分