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满分5
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高中数学试题
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已知函数f(x)=ln(ax+1)+x2-ax,a>0, (Ⅰ)若是函数f(x)...
已知函数f(x)=ln(ax+1)+x
2
-ax,a>0,
(Ⅰ)若
是函数f(x)的一个极值点,求a;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间A;
(Ⅲ)若对于任意的a∈[1,2],不等式f(x)≤m在
上恒成立,求m的取值范围.
(Ⅰ)若是函数f(x)的一个极值点,求导得到f′()=0得,求a;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间A,比较f′(x)=0的两根的大小,确定函数的单调区间;(Ⅲ)若对于任意的a∈[1,2],不等式f(x)≤m在上恒成立,转化为求函数函数f(x)在区间[1,2]上的最大值. 【解析】 (Ⅰ) 因为是函数f(x)的一个极值点,所以,得a2-a-2=0. 因为a>0,所以a=2. (Ⅱ)因为f(x)的定义域是, . (1)当时,列表 f(x)在,是增函数; f(x)在是减函数. (2)当时,34.gif,f(x)在是增函数. (3)当时,列表 f(x)在,(0,+∞)是增函数; f(x)在是减函数. (Ⅲ)当时,, 由(Ⅱ)可知f(x)在上是增函数. 当时,也有f(x)在上是增函数, 所以对于对于任意的a∈[1,2],f(x)的最大值为f(1)=ln(a+1)+1-a, 要使不等式f(x)≤m在上恒成立, 须ln(a+1)+1-a≤m, 记g(a)=ln(a+1)+1-a,因为, 所以g(a)在[1,2]上递减,g(a)的最大值为g(1)=ln2,所以m≥ln2. 故m的取值范围为[ln2,+∞).
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考点分析:
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已知函数
.
(Ⅰ)证明
;
(Ⅱ)若数列{a
n
}的通项公式为
,求数列{a
n
}的前m项和S
m
;
(Ⅲ)设数列{b
n
}满足:
,设
,若(Ⅱ)中的S
m
满足对任意不小于2的正整数n,S
m
<T
n
恒成立,试求m的最大值
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已知函数f(x)=aln(1+e
x
)-(a+1)x,(其中a>0),点A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
)),C(x
3
,f(x
3
))从左到右依次是函数y=f(x)图象上三点,且2x
2
=x
1
+x
3
.
(Ⅰ)证明:函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(Ⅱ)求证:△ABC是钝角三角形;
(Ⅲ)试问△ABC能否是等腰三角形?若能,求△ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.
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解关于x的不等式:
.
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,sinB=
.
(1)求A+B的值;
(2)若a-b=
-1,求a、b、c的值.
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观察下列等式:
,
,
,
,
,
,
…
,
可以推测,当k≥2(k∈N
*
)时,
=
a
k-2
=
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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