Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥D-AB₁F的体积；
（3）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

Answer

（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，通过证明AD⊥平面BCC1B1得AD⊥B1F，然后在矩形BCC1B1中通过证明Rt△DCF≌Rt△FC1B1得B1F⊥FD，问题从而得证．
（2）利用等体积法，将要求的三棱锥D-AB1F的体积转化为高和底面都已知的三棱锥A-B1DF体积来求．
（3）本问是个探究性问题，通过线段的长度关系和平行关系探讨线面平行．
（1）证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，
∴AD⊥BB1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵B1F⊂平面BCC1B1
∴AD⊥B1F．
在矩形BCC1B1中：C1F=CD=a，CF=C1B1=2a
∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
∴∠CFD=∠C1B1F
∴∠B1FD=90°，即B1F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B1F⊥平面AFD；
（2）【解析】
∵AD⊥平面BCC1B1
∴
=；
（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF．
证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，连DM，
∵AE=CF=2a
∴AEFC为矩形，
∴M为EC中点，
∵D为BC中点，
∴MD∥BE，
∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF
∴BE∥平面ADF．