Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足=t+（1-t）（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的
方法求解；
（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
由=t+（1-t）（t∈R），知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：即y=x-4．
由得x2-12x+16=0．
∴x1x2=16，x1+x2=12
∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16
∴x1x2+y1y2=0   故⊥．
（Ⅱ）【解析】
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=-4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x1x2+y1y2=0．
即=m2-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦AB的中点为M（x，y）  则x=（x1+x2），y=（ y1+y2），
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=4k2+8，
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
消去k得：y2=2x-8．
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8．