Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）在线段CC₁上是否存在一点E，使得直线A₁E与平面A₁BD所成的角的正弦值为，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，我们易得A1B⊥AB1，AC1⊥A1B，由线面垂直的判定定理可得A1B⊥面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，结合垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1；
（2）证法1：过点E作EF∥AC1交直线A1D于F，则∠EA1F就是直线A1E与平面A1BD所成的角，结合已知中直线A1E与平面A1BD所成的角的正弦值为，设AB=BB1=2，CE=x，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到结论．
证法2：以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设设AB=BB1=2，CE=x，结合已知中直线A1E与平面A1BD所成的角的正弦值为，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到结论．
【解析】
（1）∵AB=B1B
∴四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1…（6分）
（2）证法1：假设在线段CC1上存在点E，使得直线A1E与平面A1BD所成的角的正弦值为，设AB=BB1=2，CE=x，
过点E作EF∥AC1交直线A1D于F，则EF⊥面A1BD，所以∠EA1F就是直线A1E与平面A1BD所成的角，
所以，而，
所以得x=1
即E是C1C的中点     …（12分）
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD
又∵PE⊂平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）
证法2：设AB=BB1=2，CE=x，∵D为AC的中点，且AC1⊥A1D，
∴A1B=A1C1=又∵B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B1∴B1C1=2，
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（1，1，0），A1（2，0，2），E（0，2，x），，，，则平面A1BD的法向量，
由
得x=1即E是C1C的中点
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD
又∵PE⊂平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…（14分）