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设椭圆T:(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、...

设椭圆T:manfen5.com 满分网(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=manfen5.com 满分网,F2为椭圆的右焦点,M为椭圆T上任意一点,若△F1MF2面积的最大值为manfen5.com 满分网
(1)求椭圆T的方程;
(2)直线l绕着F1旋转,与圆O:x2+y2=5交于A、B两点,若|AB|∈(4,manfen5.com 满分网)),求△F2PQ的面积S的取值范围.
(1)由题意可将x=-c代入椭圆方程可得,结合c=可得y=,从而可求|PQ|,再由△F1MF2面积的最大值为可得=,由方程可求a,b进而可求椭圆方程 (2)设直线L:x=my-1,可求圆心O到直线L的距离d,由圆的性质可知AB=2= 由,可求m的范围,联立方程组消去x,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则根据方程的根与系数关系可得,,代入=,代入整理,结合函数的单调性可求S的范围 【解析】 (1)由题意可将x=-c代入椭圆方程可得, ∵c= ∴即y= ∴|PQ|=① 由已知可得=② ①②联立可得a2=3,b2=2 ∴椭圆的方程为 (2)设直线L:x=my-1即x-my+1=0,圆心O到直线L的距离d= 由圆的性质可知AB=2= 又,则 ∴m2≤3 联立方程组消去x可得(2m2+3)y2-4my-4=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 == ==(令t=m2+1∈[1,4]) 设f(t)=(t∈[1,4]) 则对一切t∈[1,4]恒成立 ∴f(t)=4t+在[1,4]上单调递增,4t+ ∴
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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