Question

已知函数．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＜0时，试求方程f（x）=0根的个数．

Answer

先对函数求导可得f'（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）当a=-2时，f′（x）=-6（x+1）（x-1），分析导数的符号变化以确定函数的单调性的改变，从而可求函数的单调区间及极值
（2）当a＜0时，可得从而可求函数f（x）在，（1，+∞）递减；在递增，结合函数值的符号及函数的单调性判断函数的f（x）零点个数．
【解析】
f'（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）当a=-2时，f′（x）=-6（x+1）（x-1）
令f′（x）=0得x1=1x2=-1

（-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + -
f（x） 减 极小值 增 极大值 减

∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递增区间为（-1，1）
f（x）极小值=-7f（x）极大值=1（6分）
（2）当a＜0时，∴f（x）在，（1，+∞）递减；在递增，（9分）
又∵，（11分）∴f（x）有三个零点．
∴当a＜0时，f（x）有三个零点．（12分）