Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论．

Answer

（1）先求得Q的坐标，再直接设出P的坐标，代入已知的式子化简整理即可．
（2）直接设DE的直线方程y=kx+b，D（x1，y1），E（x2，y2），与曲线C的方程联立、消元，由维达定理和AD、AE的斜率之积等于2得到k和b的关系，代入DE的直线方程，问题即可求解．
【解析】
（1）设P（x，y），代入 ．
得 ．
化简得y2=4x
（2）将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，∴A（1，2）．
设直线AD斜率为k1，直线AE斜率为k2，
∵k1•k2=2，∴DE两点不可能关于x轴对称．∴DE的斜率必存在，设为k．
设直线DE的方程y=kx+b，D（x1，y1），E（x2，y2）．
由 ，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0
∴
∵k1•k2=2，∴
且y1=kx1+b，y2=kx2+b∴（k2-2）x1x2+（kb-2k+2）（x1+x2）+（b-2）2-2=0．
将
代入化简，得b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，直线过定点（-1，-2）；
将b=2-k代入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．直线过定点（1，2）即为A点，舍去．
∴直线DE过定点为（-1，-2）