Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[3a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（I）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设b_n=a_n-1，，求证：．

Answer

（I）根据x=是函数f（x）的极值点，利用导数知识得出f（）=0，即a n+1=3an-2a n-1（n≥2）从而构造出即可证明{a n+1-an}是等比数列；
（II）由（I）得{a n+1-an}是等比数列是等比数列，首项为2，根据等比数列的通项公式得：a n+1-an=2n   利用数列求得即可求数列{an}的通项公式
（III）由（II）得bn=2n-1结合拆项利用拆项法求和Sn，最后结合数列的单调性即可证明．
【解析】
（I）∵x=是函数f（x）的极值点，
∴f（）=0，即a n+1=3an-2a n-1（n≥2）…（2分）

∴{a n+1-an}是等比数列；
（I）{a n+1-an}是等比数列是等比数列，首项为2，∴a n+1-an=2n   …（6分）
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-a n-1）=2+21+…+2 n-1=2n    …（9分）
（III）∵an=2n，∴bn=2n-1∵…（11分）
∴Sn=++…+
=1-，n越大，Sn越大，且当n=1时，Sn=
∴…（14分）