Question

已知函数，
（1）g[f（1）]=    ；
（2）若方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是    ．

Answer

（1）由题意先求出f（1）=-3，再根据g（x）的解析式代入g（x）=x+1求值；
（2）由g（x）的解析式知，需要求出f（x）＞0和f（x）≤0的解集，再代入对应的解析式，由题意还需要求出函数g[f（x）]的值域和图象，故用换元法设t=-x2-2x，并且求出对应t的值域，再代入g[f（x）]的解析式，画出函数g（t）的图象，再由图象求出a的范围．
【解析】
（1）∵，
∴f（1）=-1-2=-3，
即g[f（1）]=-3+1=-2．
（2）由f（x）=-x2-2x＞0解得，-2＜x＜0，
由f（x）=-x2-2x≤0解得，x≥0或x≤-2，
则g[f（x）]=，
设t=-x2-2x=-（x+1）2+1，当-2＜x＜0时，则t∈（0，1]，
当x≥0或x≤-2时，t∈（-∞，0]，
∴函数g[f（x）]变成，作出此函数的图象：
由图象知，方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个时，
即y=a的图象与函数图象交点个数有2个，
因当t=1时，g（t）=，当t=时，g（t）=1，
故a的取值范围是．
故答案为：（1）-2；（2）