Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且侧面ABC⊥底面BCDE．
（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（2）试在线段BC上确定点M，使得AE⊥DM，并加以证明．

Answer

对于（1），只需证明FG平行于平面ABC内的一条直线即可，而G是AE的中点，故取AB中点P，易证PG与CF平行且相等，从而PGFC是平行四边形，的FG∥CP，问题得证；
对于（2），取BC的中点M，由面面垂直性质容易证明MD⊥AM，故只需证明MD⊥ME即可，而在底面BCDE为矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，M为
BC中点，由勾股定理容易得到MD⊥ME，从而MD⊥面AME，问题得证．
证明：（1）取AB的中点为P，连PC，PG，
则PGBE，又CFBE
=∴PG∥CF，∴PGFC是平行四边形，∴FG∥CP（3分）
又FG⊄面ABCCP⊂面ABC∴FG∥面ABC．（6分）
（2）点M为BC的中点（7分）
连接DM，EM，AM
由于AB=AC，∴AM⊥BC（8分）
则△MDE中，MD2+ME2=DE2∴EM⊥DM
又面ABC⊥面BCDE，交线为BC，∴AM⊥面BCDE，且DM⊂平面BCDE∴AM⊥DM（10分）
又AM∩EM=M，∴DM⊥平面AME∵AE⊂平面AME，∴AE⊥DM．（12分）