Question

a²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵：

其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n，k∈N^*）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，是否存在整数p使得不等式A_n≥11n+p对任意的n∈N^*恒成立，如果存在，求出p的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设第一行的公差为d，则a1k=a11+（k-1）d，aik=[a11+（k-1）d]•2i-1，由a23=8，a34=20可知a11和d的值，从而得到aik的值．
（2）由题意得An=2+22+23++2n-1+2×2n-（n+1）=，An≥11n+p⇔p≤An-11n
令Bn=An-11n，则Bn=（3•2n-n-3）-11n=3•2n-12n-3，从而Bn+1-Bn=3（2n-4）．由此入手能够推导出p的最大值为-15．
【解析】
（1）设第一行的公差为d，则a1k=a11+（k-1）d∵第b列的数成公比为2的等比数列
即aik=[a11+（k-1）d]•2i-1（2分）
又∵a23=8，a34=20∴
解得a11=2，d=1（4分）
从而aik=（k+1）•2i-1（6分）
（2）由（1），得ai（n+1-i）=（n+2-i）•2i-1
An=ann+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1
=（n+1）×2+n×2+（n-1）×22+…+2×2n-12n=（n+1）×2+n×22+（n-1）×23+…+3×2n-1+2×2n
两式相减，得An=2+22+23+…+2n-1+2×2n-（n+1）=（9分）
An≥11n+p⇔p≤An-11n
令Bn=An-11n，
则Bn=（3•2n-n-3）-11n=3•2n-12n-3
从而Bn+1-Bn=[3•2n+1-12（n+1）-3]-（3•2n-12n-3）=3（2n-4）．
由上式知：当n=1时，有B2＜B1
当n=2时，有B2=B3
当n＞2时，Bn+1＞Bn
因此，数列{Bn}的最小项为B2或B3．
又B2=B3=-15
所以，p≤-15，即p的最大值为-15．（13分）