Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer

（1）f'（x）=3ax2+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）=x3-3x，知f'（x）=3（x+1）（x-1）．当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，由此能够证明对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤4．
（1）【解析】
∵f（x）=ax3+bx2-3x，
∴f'（x）=3ax2+2bx-3，
∵函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，
∴f'（1）=f'（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x3-3x…（6分）
（2）证明：∵f（x）=x3-3x
∴f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数 …（9分）
f（x）max=f（-1）=2，
f（x）min=f（1）=-2…（11分）
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）-f（x2）|
≤|f（x）max-f（x）min|
=2-（-2）=4…（12分）