Question

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*
（1）求S_n及a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2log₂a_n+1，记
（n∈N^*），求证：．

Answer

（1）将点A（1，1）、B（2，3）f（x）=m•2x+t，确定出f（x）=2x-1，得出Sn=2n-1，根据Sn与an的固有关系an=求an
（2）由（1）可知bn=2log2an+1=2（n-1）+1=2n-1，∴==，裂项后求出═，易证不等式成立．
【解析】
（1）∵函数f（x）=m•2x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）
∴解之得∴f（x）=2x-1
∵函数f（x）=m•2x+t的图象经过C（n，Sn）∴Sn=2n-1（n∈N*）
∴当n=1时，S1=a1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1∴an=2n-1
（2）由（1）可知bn=2log2an+1=2（n-1）+1=2n-1，则
∴=
=…（8分）
∴=
=
=（n∈N*）…（
∵在n∈N*上单调递增
∴当n=1时=
∵∴
综上可得…（12分）