Question

如图，曲线y²=x（y≥0）上的点P_i与x轴的正半轴上的点Q_i及原点O构成一系列正三角形△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…△Q_n-1P_nQ_n…设正三角形Q_n-1P_nQ_n的边长为a_n，n∈N﹡（记Q为O），Q_n（S_n，0）．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（1）假设出P1关于a1的坐标，代入曲线方程，得到关于a1的方程，求解即可．
（2）根据题意求得Pn+1的坐标，并代入曲线方程中，得到Sn=an+12-an+1，分两种情况讨论：①当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1，解得an+1-an=；②当n=1时，解得a2-a1=，即为an+1-an=，故得到数列的通项公式为an=．
【解析】
（1）由条件可得△P10Q1为正三角形，且边长为a1，所以，P1在曲线上，代入y2=x（y≥0）
得，∵a1＞0，∴a1=；
（2）∵Sn=a1+a2+…+an
∴根据题意容易求得点
代入曲线y2=x（y≥0）并整理得Sn=，
于是当n≥2，n∈N*时，
即
∵an+1＞an＞0，∴an+1-an=
又当n=1时，S1=，∴
∴a2-a1=，
故an+1-an=
综上所述：数列{an}是首项为．公差为的等差数列，即an=n；