Question

已知等比数列{a_n}中a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a₁=1，公比q≠1，则a_n等于（ ）
A．2^1-n
B．2^2-n
C．2^n-1
D．2^n-2

Answer

设出等差数列的公差为d，由等比数列{an}中a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，根据等差数列的性质得到等差数列的第五项等于第三项加3d，第三项等于第二项加d，即a2=a4+3d，a3=a4+d，又a2，a3，a4成等比数列，根据等比数列的性质得到a32=a2•a4，把表示出的a2和a3代入，整理后根据公差d不为0，用d表示出a4，进而用d表示出a2和a3，根据等比数列的性质由求出公比q的值，再由首项a1的值，利用等比数列的通项公式写出此等比数列的通项公式an即可．
【解析】
设公差为d，根据题意得：
∵等比数列{an}中a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，
∴a2=a4+3d，a3=a4+d，
又a2，a3，a4为等比数列{an}的项，
∴a32=a2•a4，即（a4+d）2=（a4+3d）a4（d≠0），
整理得：a42+2da4+d2=a42+3da4，即d（d-a4）=0，
解得：a4=d，或d=0，
由公比q≠1，得到a3≠a4，即d≠0，故d=0舍去，
∴a4=d，
∴a2=4d，a3=2d，
∴q===，又a1=1，
则an=a1•qn-1==21-n．
故选A