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已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则a1a2+a2a3+…+...

已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是( )
A.[12,16)
B.[8,16)
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先根据等比中项性质可知(a2)2=a1•a3=4,进而根据a1+a3=5求得a1和a3,进而根据q2=求得q.根据a1a2+a2a3+…+anan+1是数列{anan+1}的前n项和,且数列{anan+1}是以8为首项,为公比的等比数列.进而可得前n项和的表达式为Sn=(1-),可知Sn<,由已知{an}是递减等比数列可知{Sn}的最大项为S1,进而得到答案. 【解析】 (a2)2=a1•a3=4,a1+a3=5, ∴a1和a3是方程x2-5x+4=0的两个根,解得x=1或4 ∵{an}是递减等比数列,∴a1>a3, ∴a1=4,a3=1 ∴q2== ∵{an}是递减等比数列,∴q>0 ∴q= ∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=a12q+a12q3+a12q5…+a12q2n-1==(1-)< ∵{an}是递减等比数列, ∴{Sn}的最小项为S1=8 ∴a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是 故选C
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