Question

已知{a_n}是递增数列，其前n项和为S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n-，若对于任意的n∈N⁺．，不等式恒成立，求正整数m的最大值．

Answer

（Ⅰ）令n=1代入10Sn=（2an+1）（an+2），求得a1的值，根据 ，转化为等差数列，可以求得数列{an}的通项an；
（Ⅱ）把数列{an}的通项an代入bn=an-，要使得不等式恒成立只需 ≤最小值即可，转化为求某个数列的最值问题．
【解析】
（Ⅰ）∵10Sn=（2an+1）（an+3），
∴10a1=（2a1+1）（a1+2），得2a12-5a1+2=0，
解得a1=2，或 ．
由于a1＞1，所以a1=2．
∵10Sn=（2an+1）（an+2），∴10Sn=2an2+5an+2．
故10an+1=10Sn+1-10Sn=2an+12+5an+1+2-2an2-5an-2，
整理，得2（an+12-an2）-5（an+1+an）=0，
即（an+1+an）[2（an+1-an）-5]=0．
因为{an}是递增数列，且a1=2，故an+1+an≠0，
因此 ．
则数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列．
所以 ．
（Ⅱ）bn=an-，
不等式
=
=．
设f（n）=，
则
=
=．
所以f（n+1）＞f（n），即当n增大时，f（n）也增大．
要使不等式
对于任意的n∈N*恒成立，只需 ≤f（n）min即可．
因为f（n）min=f（1）=，所以 ，
即m≤．
所以，正整数m的最大值为8．