Question

已知函数f（x）=x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1．a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，确定切点的坐标与切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导函数，并因式分解，得到方程的两个根，进而分类讨论，利用函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，建立不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）当a=0时，，
∴f（3）=1，
∵f'（x）=x2-2x-----------------------------（2分）
∴曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f'（3）=3
∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8----------------（4分）
（2）∵f'（x）=x2-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x1=3a，x2=a+2-----------------------------------------------（6分）
①当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；（7分）
②当x1＞x2时，即3a＞a+2⇒a＞1，这时x1＞x2＞3，
又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴，-----------------------（10分）
③当x1＜x2时，即a＜1，这时x1＜x2＜3
又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴------------------------（13分）
综上得当函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点时，-2＜a≤0或或a=1．----------------（14分）