Question

已知抛物线y²=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S_△ABP最大，并求面积最大值．

Answer

先由题设条件知，|FA|=2，|FB|=5，可根据抛物线的定义求得点A、B的坐标；再由两点坐标已知，故由两点间距离公式求出两点的距离，由直线方程的两点式求出直线AB的方程；欲求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值即可．
【解析】
不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 …（6分）
直线AB的方程为 ，化简得2x+y-4=0．…（8分）
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d=== …（9分）
所以当y=-1时，d取最大值 ，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=×3 ×= …（11分）
此时P点坐标为（ ，-1）．…（12分）．