Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有等式成立．
（1）求证（n∈N⁺）；
（2）求数列{S_n}的通项公式；
（3）记数列的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

Answer

（1）根据Sn与an的固有关系an=，结合已知，代入化简，整理．注意n=1情况．
（2）在（1）的基础上，再次利用根据Sn与an的固有关系，求数列{an}的通项，探求数列{an}的性质，以利于求解．
（3）由（2）可求得Sn=n（n+1），，用裂项求和法即可获解．
【解析】
（1）当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
an=sn-sn-1=4•，
∴，
当n=1时，也符合，
∴
（2）当n≥2时，
，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2
于是数列{an}是首项为2，
公差为2的等差数列．∴）
（3）由（2）知
∴
=＜1