Question

已知函数f（x）=（x²+）（x+a）（a∈R）
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；
（2）若f′（-1）=0，（I）求函数f（x）的单调区间；（II）证明对任意的x₁、x₂∈（-1，0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜恒成立．

Answer

（1）先求函数f（x）=（x2+）（x+a）（a∈R）的导函数，函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，即导函数为零时有实数解，再令方程的判别式大于或等于零即可得a的范围
（2）先由f′（-1）=0求出a值；（I）令导函数大于零，解不等式可得函数的增区间，令导函数小于零，解不等式可得函数的减区间；（II）求函数f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，当这两个值差的绝对值小于，即证明了
x1、x2∈（-1，0）时，不等式|f（x1）-f（x2）|＜恒成立
【解析】
∵，∴
（1）∵函数f（x）的图象有与x轴平行的切线，
∴f′（x）=0有实数解，，
所以a的取值范围是
（2）∵f′（-1）=0，∴，，
∴
（Ⅰ）由f'（x）＞0得x＜-1或；
由
∴f（x）的单调递增区间是；
单调减区间为
（Ⅱ）易知f（x）的最大值为，
f（x）的极小值为，又
∴f（x）在[-1，0]上的最大值，
最小值∴对任意x1，x2∈（-1，0），
恒有