Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a
（1）求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小．

Answer

（I）由题意及面面垂直平行的性质定理，和直线与直线垂直得到线面垂直，在利用公垂线的定义即可得证；
（II）解法1：有（1）可知BC⊥平面AB1C，且△AB1C为正三角形，利用这些就可判断出线段AD的长即为点A到平面VBC的距离；
解法2：此问还可以利用三棱锥的体积可以进行顶点轮换法求出；
（III）利用三垂线定理，找到二面角的平面角，利用三角形解除二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面A1B1C1∥平面ABC，
∴B1C1∥BC，B1C1∥BC∵BC⊥AC∴B1C1⊥A1C1
又∵平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面AB1C，
∴BC⊥AB1
∴B1C1⊥AB1，
又∵B1C1∥BC，B1C1∥BC，且BC⊥AC∴B1C1⊥A1C1，
∴B1C1为AB1与A1C1的公垂线．

（Ⅱ）解法1：过A作AD⊥B1C于D，
∵△AB1C为正三角形，
∴D为B1C的中点．
∵BC⊥平面AB1C
∴BC⊥AD，
又B1C∩BC=C，
∴AD⊥平面VBC，
∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离．
在正△AB1C中，l．
∴点A到平面VBC的距离为．
解法2：取AC中点O连接B1O，则B1O⊥平面ABC，且B1O=．
由（Ⅰ）知BC⊥B1C，设A到平面VBC的距离为x，
∴，
即，
解得．
即A到平面VBC的距离为．
则==．
所以，A到平面VBC的距离为．

（III）过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三重线定理知AH⊥VB
∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．
在Rt△AHD中，
．
∴．
∴．
所以，二面角A-VB-C的大小为arctan．