Question

已知定点，动点P满足条件：，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使，求m的值．

Answer

（Ⅰ）由题意知，点P的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，从而写出曲线E的方程，再设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx-1代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
（Ⅱ）先设C（x，y），由已知条件中向量关系得到点C的坐标用m来表示的式子，将点C（x，y）的坐标代入双曲线方程求得m的值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴点P的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支，
∴曲线E的方程为x2-y2=1（x＜-1）
设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx-1代入x2-y2=1消去y得（1-k2）x2+2kx-2=0
∴
∴
两边平方整理得28k4-55k2+25=0，
∴（∵）
∴
故直线方程为．
（Ⅱ）设C（x，y），由已知，得（x1+x2，y1+y2）=（mx，my）
∴
∴
∴
将点C（x，y）的坐标代入x2-y2=1得．
∴m=4或m=-4（舍去）．