Question

甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲、乙、丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通过包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率写出每一种情况发生的概率，得到结果．
（2）甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的分布列和期望．
【解析】
（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
甲、乙、丙三人中只有一人通过包括三种情况，这三种情况是互斥的，
分别记甲、乙、丙通过审核为事件A1，A2，A3，

=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（2）甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
分别记甲、乙、丙获得自主招生入选资格为事件A，B，C，则
P（A）=P（B）=P（C）=0.3
P（ξ=0）=（1-0.3）3=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441
P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.33=0.027
∴ξ的分布列是

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9