Question

如图，在三棱锥A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；
（Ⅲ）求异面直线AC与BD所成角的大小．

Answer

解法一：
（1）根据平面与平面垂直的性质定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．
（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过点C作CM⊥AB于M，连接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．
（3）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，连接AO、MO、NO、MN、OD，则OM∥AC，；MN∥BD，．
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．
解法二：
以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）设CD=1，则O（0，0，0），，，，．故由得：，即AB⊥CD．
（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量为，设平面ABD的法向量为，所以这两个法向量的夹角的大小（正值）即为二面角D-AB-C的大小；
（3）因为，，故异面直线AC和BD所成角的大小即为的夹角的大小．
解法一：
（Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB⊂面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）【解析】
如图，过点C作CM⊥AB于M，连接DM．

由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜线DM在平面ABC内的射影，
∴DM⊥AB．（三垂线定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴．
∴．
∴．
∴二面角D-AB-C的大小为．（9分）
（Ⅲ）【解析】
如图，取三边AB、AD、BC的中点M、N、O，
连接AO、MO、NO、MN、OD，
则OM∥AC，；MN∥BD，．
∴∠OMN是异面直线AC与BD所成的角或其补角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，．
又∵CD⊥面ABC，故．
在△OMN中，，MN=1，ON=1．
∴．
∴异面直线AC和BD所成角为．（14分）
解法二：
（Ⅰ）分别取BC、BD的中点O、M，连接AO、OM．
∵△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD．
∵OM是△BCD的中位线，且CD⊥平面ABC，
∴OM⊥平面ABC．
以点O为原点，OM所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间
直角坐标系．（2分）

设CD=1，则O（0，0，0），，，，．
∴，．（4分）
∴．
∴，即AB⊥CD．（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量为．（7分）
设平面ABD的法向量为，
∴，．
∴，
即．，
即．
∴令，则x=-3，z=-1．
∴．（9分）

∴=．
∵二面角D-AB-C是锐角，
∴二面角D-AB-C的大小为．（11分）
（Ⅲ）∵，，
∴=．
∴异面直线AC和BD所成角为．（14分）