Question

设函数f（x）=，函数g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer

对于（1）有函数式化简后用换元法求值域．
对于（2）由题意可知对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立，等价于f（x）的值域[0，2]是函数y=g（x）在x∈[0，1]的值域的子集．
【解析】
（1）y===2+，
令x-1=t，则x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+，
当t=0时，y=2；当t∈[-1，0），y=2+，
由对勾函数的单调性得y∈[0，2），故函数在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x）=f（x1）成立，则[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①当a=0时，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合题意；
②当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=-＜0，故当x∈[0，1]时，函数为增函数，则g（x）的值域是[-2a，5-a]，由条件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴⇒0＜a≤3；
③当a＜0时，函数g（x）的对称轴为x=-＞0．
当0＜-＜1，即a＜-时，g（x）的值域是[-2a，]或[5-a，]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此时不合题意；当-≥1，即-≤a＜0时，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此时不合题意．
综合①②③得0≤a≤3．