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已知椭圆manfen5.com 满分网和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.
(1)(ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e;
(ⅱ)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围;
(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:manfen5.com 满分网为定值.

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(Ⅰ)(ⅰ)由圆O过椭圆的焦点,知圆O:x2+y2=b2,由此能求出椭圆的离心率e;       (ⅱ)由∠APB=90°及圆的性质,可得,|OP|2=2b2≤a2,由此能求出椭圆离心率e的取值范围; (Ⅱ)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则,所以PA方程为:x1x+y1y=b2,PB方程为:x2x+y2y=b2.由此入手能得到为定值. 【解析】 (Ⅰ)(ⅰ)∵圆O过椭圆的焦点,圆O:x2+y2=b2, ∴b=c,∴b2=a2-c2=c2,∴a2=2c2, ∴.(3分) (ⅱ)由∠APB=90°及圆的性质,可得, ∴|OP|2=2b2≤a2,∴a2≤2c2 ∴,.(6分) (Ⅱ)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 整理得xx+yy=x12+y12∵x12+y12=b2 ∴PA方程为:x1x+y1y=b2,PB方程为:x2x+y2y=b2. ∴x1x+y1y=x2x+y2y,∴, 直线AB方程为,即xx+yy=b2. 令x=0,得,令y=0,得, ∴, ∴为定值,定值是.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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