Question

已知数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1且点（n，S_n+n+2）在函数f（x）=log₂x-1的反函数y=f^-1（x）的图象上．若数列{a_n}满足a₁=1，．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）由y=log2x-1，可得x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，所以有Sn=2n+1-n-2，b1=1，再由前n项和与通项的关系求得bn=2n-1．
（Ⅱ）根据，可得，从而有，所以，从而有，变形可得结论．
（Ⅲ）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）知
==
=
===2（）再放缩求解．
【解析】
（Ⅰ）令y=log2x-1，则x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，
∴Sn+n+2=2n+1，则Sn=2n+1-n-2，b1=1，（2分）
n≥2时，Sn-1=2n-n-1，∴Sn-Sn-1=2n-1，即bn=2n-1（n≥2），b1=1满足该式，故bn=2n-1．（4分）
（Ⅱ）证明：∵，
∴，，
∴，从而，
∴．（8分）
（Ⅲ）证明；b1=1，b2=3，a1=1，a2=3，
当n=1时，左边==右边．（9分）
当n≥2时，由（Ⅱ）知
==
=
==．（11分）
而．
当k≥2时，=
∴
=，
∴．（14分）