Question

已知函数．
（I）若m=1，判断函数在定义域内的单调性；
（II）若函数在（1，e）内存在极值，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先求函数的导数，当m=1时，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令x小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（II）求出函数的导数，令导数等于0，求得x的值为em，此时函数有可能存在极值，再判断x=em左右两侧导数的正负，可知当x=em时函数有极大值，因为已知函数在（1，e）内存在极值，所以得到1＜em＜e，解不等式即可求出m的范围．
【解析】
（I）显然函数定义域为（0，+∞）
若m=1，则，
由导数运算法则知．
令f'（x）＞0，即＞0，
∴1-lnx＞0，解得x＜e．
令f'（x）＜0，即＜0，
∴1-lnx＜0，解得x＜e．
又∵函数定义域为（0，+∞）
∴函数的增区间为∈（0，e），函数的间区间为（e，+∞）．  
（II）由导数运算法则知，．
令f'（x）=0，得x=em．
当x∈（0，em）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（em，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．  
故当x=em时，f（x）有极大值，
又∵函数在（1，e）内存在极值
∴1＜em＜e，解得0＜m＜1