Question

已知α．β是平面，m．n是直线，给出下列命题
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n不与α相交．
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直定理进行判断；
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β，由面面平行的条件进行判断；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n不与α相交，由线面位置关系判断．
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，由线面平行的条件判断．
【解析】
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β，此命题正确，因为由m∥β可得β内存在一条直线l与m平行，又m⊥α，可得l⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
②如果m⊥α，m⊥β，则α∥β，此命题正确，因为垂直于同一直线的两个平面平行；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n不与α相交，此命题不正确，因为在题设条件下，n与α相交，且交点不在直线m上，可以保证m，n是异面直线．
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β此命题正确，因为由线面平行的判定定理知，面外一条直线与面内一条直线平行，可得此线与面平行．
综上，正确命题有三个
故选C