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如图,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点,. (I)证明AB1∥平...

如图,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点,manfen5.com 满分网
(I)证明AB1∥平面DBC1
(II)求异面直线AB1与BC1所成的角
(III)求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的度数.

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(I)要证明线面平行,需要在面上找一条和已知直线平行的直线,根据四边形B1BCC1是矩形.连接B1C交BC1于E,则B1E=EC.连接DE,在△AB1C中,AD=DC,得到DE∥AB1,这样题目得证. (II)以DB为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,构造两个向量的方向向量,方向向量所成的角的余弦值的绝对值就是要求的角的余弦值,本题比较特殊是一个直角. (III)要求两个平面所成的角,需要先写出两个平面的法向量,其中这两个平面有一个法向量是已知的,另一个需要设出来,再根据法向量与平面上的向量数量积等于0,写出一个法向量,根据向量所成的角得到结果. 【解析】 (Ⅰ)证明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形. 连接B1C交BC1于E,则B1E=EC. 连接DE,在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1, 又AB1⊄平面DBC1,DE⊂平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.       (Ⅱ)设D1是A1C1的中点,则DD1⊥平面ABC. 所以,以DB为x轴,DC为y轴,DD1为z轴(如图)建立空间直角坐标系. 设AB=2,则,C(0,1,0),A(0,-1,0),,. ∴,, ∵,∴, 即,AB1与BC1所成的角为90°.                            (Ⅲ)∵BC的中点, ∴, ∴可取平面CBC1的法向量为. 设平面BC1D的法向量为, 则⇒ ∴可取. ∵, ∴面DBC1与面CBC1所成的二面角为45°.
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考点分析:
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