Question

如图点A_n（x_n，y_n）是曲线y²=2x（y≥0）上的点，点B_n（a_n，0）是x轴上的点，△B_n-1A_nB_n是以A_n（x_n，y_n）为直角顶点的等腰三角形，其中n=1，2，3，…，B为坐标原点．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列b_n=2^n-1，求最小正整数m，使得对任意的n∈N^*，当n＞m时，a_n＜b_n成立．

Answer

（I）由已知得抛物线方程为y=2x2，y′=2x，根据△Bn-1AnBn是等腰直角三角形得到：yn-yn-1=2，通过解直线与抛物线组成的方程组即可求出{xn}，{yn}的通项公式，最后写出数列{an}的通项公式．
（II）本小题考查的知识点是数学归纳法，先猜想，当n∈N*且n＞8时，an＜bn成立．要证明当n＞8时，an＜bn，我们要先证明当n=8时，an＜bn成立．再假设n=k时an＜bn成立，进而证明出n=k+1时an＜bn成立，即可得到对于任意当n∈N*且n＞8时，an＜bn成立．
【解析】
（I）∵点An（xn，yn）在曲线y2=2x（y≥0）上，
∴，．
∵△Bn-1AnBn是等腰直角三角形，∴，
∵yn+yn-1≠0，∴yn-yn-1=2．
由可以解得x1=y1=2，
∴yn=2+2（n-1）=2n，n∈N*．                                
∴，∴an=xn+yn=2n（n+1），n∈N*．        
（II）∵当n=8时，a8=144，b8=128，当n=9时，a9=180，b9=256，…，
可以猜想，当n∈N*且n＞8时，an＜bn成立．下面用数学归纳法证之．   
设n=k＞9时，ak＜bk成立，即，2k-1＞2k（k+1）成立，
当n=k+1时，bk+1=2k=2×2k-1＞4k（k+1）=2（k+1）（k+2）+2（k+1）（k-2）
∵k＞9，∴（k+1）（k-2）＞0，∴ak+1＜bk+1成立．
综上，m=8时，对任意的n∈N*，当n＞m时，an＜bn成立．