Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设f（x）的最小值为g（a），证明：．

Answer

（I）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值为，a＞0，构造函数设，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而，
∵a＞0，x＞-1，∴当时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值
为，a＞0． 
要证明，
只须证明成立．            
设，x∈（0，+∞）．                               
则，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．
取得到成立．                   
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取得到成立．因此，．