Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）设PD=AD=a，求三棱锥B-EFC的体积．

Answer

（Ⅰ）由题意容易证明EF∥AP．由线面平行的判定定理可证
（Ⅱ）由（I）知EF∥AP，要证EF⊥CD，只要证明CD⊥PA．，结合已知，可证CD⊥平面PAD，即可
（Ⅲ）利用等体积，把所求的体积VB-EFC=VF-EBC，可求
（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，PB的中点，
∴EF∥AP．
又∵EF⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD．                  （4分）
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．
∴CD⊥平面PAD，
又∵PA⊂平面PAD，
∴CD⊥PA．
又∵EF∥PA，
∴EF⊥CD．    （8分）
（Ⅲ）【解析】
连接AC，DB相交于O，连接OF，则OF⊥面ABCD，
则OF为三棱锥F-EBC的高，OF==，S△EBC=EB•BC=
∴．（12分）